В продолжение предыдущей темы, в которой рассматривались примеры решения тригонометрических функций, этот видеоурок знакомит учащихся с арккосинусом и решением уравнения cos t = a.

Рассматривается пример решения уравнения cos t =1/4 . Используя числовую окружность, находим точки с координатой х = 1/4, на графике отметим эти точки как M(t 1) и N(t 2).

На графике видно, что t 1 - это длина АМ, а t 2 - это длина AN. По-другому можно сказать, что t 1 = arccos 1/4; t 2 = - arccos 1/4. Решение уравнения t = ± arccos ¼ + 2πk.

Таким образом, arccos 1/4- это число (длина АМ), косинус которого равен 1/4. Это число принадлежит отрезку от 0 до π/2, т.е. первой четверти окружности.

Далее рассматривается решение уравнения cos t = - 1/4. По аналогии с предыдущим примером, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можно сказать, чтоarccos (-1/4 - это число (длина дуги АМ), косинус которого равен - ¼ и это число принадлежит II четвертиокружности, т.е. отрезкуот π/2 до π.

Исходя из двух примеров, дается определение арккосинусу: если модуль а меньше или равен 1, то arccos а это такое число из отрезка от 0 до π, косинус которого равен а. Тогда выражение cos t = a при модуле а меньше или равно 1 может иметь вид t = ± arccos a + 2πk. Далее указаны значения t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = - 1.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arcсos. Укажем, что данное значение arcсos равно t , следовательно, cos t равен этому значению, где t принадлежит отрезку от 0 до π. Пользуясь таблицей значений, найдем, что cos t соответствует значение t =π/6. Найдем соответствующее значение косинуса, где π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Разберем пример 2. Вычислить arcсos отрицательного числа. Допустим, что arcсos этого числа равен, следовательно, cos t равен этому числу, где t принадлежит отрезку от 0 до π. По таблице значений увидим, какое значение соответствует cos t, это t = 5π/6. Т.е. cos 5π/6 это минус корень из трех, деленный на два, где 5π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Далее автор рассматривает теорему: для любого а, принадлежащего отрезку от минус одного до одного, действительно равенство arccos a + arccos (-a) =π.При доказательстве для определенности считаем, что а > 0, тогда - а < 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Когда а > 0, arccos a принадлежит I четверти окружности (отмечено на рисунке), а когда а < 0, arccos a принадлежит II четверти.

Рассмотрим еще один пример. Решить выражение, где cos t равен отрицательному числу. Запишем, чему в данном случае равно t.Тогда найдем величину арккосинуса, это 3π/4. Подставим найденное значение arcсos в значение t и получим, что t = ± 3π/4+ 2πk.

Разберем решение неравенства cos t. Для решения нам необходимо на числовой окружности найти точки, в которых х равен значению косинуса. Это точки со значениями π/4 и - π/4. Как видно на рисунке, длина дуги MN это - π/4≤ t ≤π/4. Значит ответом неравенства будет - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Арккосинус. Решение уравнения cost = a

Рассмотрим решение уравнения cost = .

Учитывая, что cos t - это абсцисса точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с абсциссой

На числовой окружности отметим точки М(t 1), N(t 2) - точки пересечения прямой х= с этой окружностью.

t 1 - это длина дуги АМ, t 2 - это длина дуги АN, t 2 = - t 1.

Когда математики впервые встретились с подобной ситуацией, они ввели новый символ arccos

arccos (арккосинус одной четвертой).

Тогда t 1 = arccos; t 2 = - arccos

И тогда корни уравнения cost = можно записать двумя формулами:

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk или t = arccos + 2πk.

Что значит arccos ?

Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен одной четвертой и это число принадлежит первой четверти, то есть отрезку .

Теперь рассмотрим уравнение

cost = - . Аналогично решению предыдущего уравнения, запишем

t = arccos) + 2πk.

Как понимать arccos(-)? Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен минус одной четвертой и это число принадлежит второй четверти, то есть отрезку [; ].

Дадим определение арккосинусу:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть | а | 1(модуль а меньше либо равно единице). Арккосинусом а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.(рис.1)

ПРИМЕР 1. Вычислить arсcos.(арккосинус корень из трех на два)

Решение. Пусть arсcos = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Вспомним значению cos соответствует

(Показать таблицу значений) Значит, t = (пи на шесть), так как cos = и . Значит, arсcos = .

arcos - это длина дуги, но длина дуги окружности это - t в определении cost

(Условно можно сказать что арккосинус это «значение угла», на который ушла точка от М от точки А, если вспомните то мы число t вводили как часть длины окружности, радиуса равного 1(одному), и тогда 2π- вся окружность равна 360°, π- половина окружности =180°, ==60°)

ПРИМЕР 2. Вычислить arсcos(- (арккосинус минус корень из трех на два).

Решение. Пусть arсcos(-) = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Значит, t = (пять пи на шесть), так как cos = - и [; ]. Итак, arсcos) = .

Докажем ТЕОРЕМУ. Для любого а [; ](а из отрезка от минус единицы до единицы) выполняется равенство arccosа+ arccos(-а) = π(сумма арккосинуса а и арккосинуса минус а равна пи).

Доказательство. Для определенности будем считать, что а 0, тогда - а 0. На числовой окружности отметим arcos а (это длина дуги АК) и

arccos(-а) (это длина дуги АТ) (смотри рис. 2)

Из доказанной теоремы следует: arcos (-а) = π - arcos а (арккосинус минус а равен разности пи и арккосинуса а), где 0 а 1(где а больше либо равно нулю и меньше либо равно единице).

Когда а > 0, считают, что arcosа принадлежит первой четверти числовой окружности.

Когда а < 0 считают, что arcosа принадлежит второй четверти числовой окружности.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение cost = - .

Решение. Составим формулу решений: t = arccos(-)+ 2πk.

Вычислим значения арккосинуса: arccos(-) = π - arсcos = π - = .

(Согласно соотношению arccos(-) = π - arсcos arсcos , то подставив данное значение в формулу, получим, что arccos(-) =) .

Подставим найденное значение в формулу решений t = arccos(-)+ 2πk и получим значение t: t = + 2πk.

ПРИМЕР 4.Решить неравенство cost .

Решение. Мы знаем, что cost - это абсцисса точки М(t) на числовой окружности. Это значит, что нужно найти такие точки М(t) на числовой окружности, которые удовлетворяют неравенству х.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и N.

Неравенству х соответствуют точки открытой дуги МN. Точке М соответствует, а точке N -

- (минус пи на четыре).

Значит, ядром аналитической записи дуги МN является неравенство

T , а сама аналитическая запись дуги МN имеет вид

Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .

Предмет: алгебра и начала анализа

Класс: 10.

Тема урока: Арккосинус числа а . Решение уравнений cos x = a .

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.

Оборудование: компьютер, интерактивный доска, раздаточный материал, карточки по рефлексии учебной деятельности (у каждого ученика), плакат с единичной окружностью.

Цели:

Обучающие : ввести понятие арккосинуса числа а; выработать навык вычисления арксинуса числа а ; вывести формулу корней простейших тригонометрических уравнений формулу cos x = a ; научить применять формулу при решении простейших тригонометрических уравнений; изучить частные случай решения тригонометрических уравнений при а равном 0, – 1, 1.

Развивающие : развивать умение кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения; развивать способность аргументировать свои утверждения; развивать умения классифицировать, сравнивать, анализировать и делать выводы.

Воспитательные : обучать навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе; воспитывать умение правильно оценивать свои возможности, результаты учебной деятельности, развивать коммуникативные навыки; воспитывать трудолюбие и целеустремленность.

Ход урока.

1. Организационный момент , 2 мин.

Учитель. Здравствуйте ребята. Сегодня на уроке мы будем учиться. (Слайд 1)

а) кратко, логично, последовательно излагать мысли и суждения;

б) аргументировать утверждения;

в) сравнивать, анализировать и делать выводы;

г) оценивать результаты своей учебной деятельности.

Мы помним, что каждый ученик, как всегда, имеет право (запись на доске):

высказывать свое мнение и быть услышанным;

самостоятельно планировать домашнюю самоподготовку;

знать больше учителя и отстаивать свои гипотезы.

2. Актуализация знаний , 3-4 мин.

Устный счет.

Задания проецируются на интерактивный экран. (Слайд 2 )

1. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .

Точки единичной окружности ,, принадлежат 1 четверти?

Косинус какого угла есть величина положительная?

Если угол принадлежит 1 четверти.

Вывод. Косинус острого угла есть величина положительная.

2. Вычислить значения: cos ; cos ; cos .

Точки единичной окружности ,, принадлежат 2 четверти.

Косинус какого угла есть величина отрицательная?

Если угол принадлежит 2 четверти.

Вывод. Косинус тупого угла величина отрицательная.

3. Косинус какого угла равен ; 0; ; 1; ; –; –, если
?

3. Проверка домашней работы , 3-4мин.

3 учащихся заранее готовят на доске решения уравнений. Объяснение ведется по единичной окружности.

1 ученик

cos t = ,

t =
+ 2π k , где k Z .

Ответ: t =
+ 2π k , где k Z .

2 ученик

cos t = 1,5,

не имеет решения т.к. – 1≤ а ≤1.

Ответ: нет решений.

cos t = 1,

t = 2 π k , где k Z .

Ответ : t = 2π k , где k Z .

3 ученик

cos t = 0,

t = + π k , где k Z .

Ответ: t = + π k , k Z .

cos t = – 1,

t = π + 2π k , где k Z .

Ответ: t = π + 2π k , где k Z .

4. Изучение нового материала , 13-15 мин.

На доске ведет запись на основной доске рядом с примером cos t = , все остальные учащиеся слушают. Пример и единичная окружность записаны заранее.

Проговаривая алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения, ученик решает уравнение с помощью единичной окружности.

t = t 1 +2π k ,

t = t 2 +2π k , где kZ .

Т.к. t 1= – t 2, то t = ± t 1 +2π k , где kZ .

Является ли эта запись ответом решения уравнения?

Эта запись не является ответом решения уравнения, т. к. не определены значения t 1 .

Учитель. Что это за число t 1 , пока неизвестно, ясно только то, что t 1
. Столкнувшись с такой ситуацией, математики поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом языке. Поэтому был введен на рассмотрение новый символ arc с os а , который читается: арккосинус а .

Запишем тему сегодняшнего урока: «Арккосинус числа а . Решение уравнений cos t = a ».

(Слайды 3, 4)

Учитель. Сегодня на уроке мы изучим понятие арккосинус числа а, научимся его вычислять и применять при решении простейших тригонометрических уравнений. (Слайд 3)

Arcus в переводе с латинского значит дуга , сравните со словом арка . Символ arc сos а , введенный математиками, содержит знак (arc ) , с os а – напоминание об исходной функции. (Слайд 4)

Открываем учебник на стр.89 и читаем определение арккосинуса.

Ученики открывают учебник и читают по книге определение, выделяя главное.

Закрепление и отработка понятия арккосинус числа а и алгоритма его вычисления.

Фронтальная работа с классом.

Косинус какого числа равен а ?

Применяя изученное определение, найдите значение выражения:

arccos ( ); arc с os ( ); arc с os ( ).

(Слайд 5)

arccos ( ) = ;

arc с os ( ) = ;

а rc с os ( ) =

Все значения а принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения арккосинуса а ?

Значения arcos а принадлежат отрезку от 0 до .

А как же вычислить значение arccos (– а) ? Обратимся к учебнику и найдем формулу, по которой вычисляется значение arcos (– а) (Читаем и выделяем формулу).

Вычислить: arccos (– ); arc с os (– );

а rc с os (– ). (Слайд 6)

arccos (– )= ;

а r с cos (– ) = ;

а r с cos (– ) =

Все значения (– а) принадлежат отрезку от – 1 до 0. Какой четверти принадлежат значения arccos (–а) ?

Запишите справочный материал. (Слайд 6)

Значения arc с os (–а) принадлежат отрезку от до π .

Учащиеся записывают формулу в тетрадь.

Вычисляем по слайду на интерактивной доске.

Задание. Найти значение выражения:

а ) arccos () – arccos (–) + + arcos 1; ( Слайд 7)

б ) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (–) ( Слайд 8)

5. Самостоятельная работа (с последующей самопроверкой). (Слайд 9)

2 человека работают у доски самостоятельно, остальные работают в тетрадях, затем проверяют правильность выполнения. Те, кто работал с дом заданием, у доски пишут на листочка, затем сдают их на проверку.

cos t = .

Урок к разделу: «Тригонометрические уравнения», 10 класс

Тема урока: «Уравнение cos х = а».

Тип занятия : формирование новых знаний, умений и навыков

Цели урока:

образовательная

рассмотреть решения простейших тригонометрических уравнений типа cosx=a.

воспитательная

воспитывать навыки культуры труда;

развивающие

развивать чувство ответственности и навыки самостоятельного труда и самоконтроля;

развивать логическое мышление;

вырабатывать умение классифицировать и обобщать ;

развивать умение задавать вопросы .

Оборудование :

интерактивная доска c мультимедийным проектором и компьютером, таблицы с формулами, презентация .

Задачи урока:

1). Учащиеся повторяют основные понятия темы.

2). Учащиеся решают уравнения типа cos х = а.

Методические приемы: прием кластера («гроздья»), прием «верите ли вы?» (на стадии вызова), «продвинутая лекция» (стадия осмысления), комментированное решение уравнений, самостоятельная работа учащихся (стадия рефлексии).

Урок был дан с использованием элементов технологии критического мышления.

Урок в технологии критического мышления имеет трехфазную структуру :

Вызов ;

Осмыслениие (реализация) ;

Рефлексия .

Ход урока :

Стадия вызова

I. Урок начинается с вопроса к классу: «На доске записана тема нашего урока. На какие вопросы вы хотели бы получить сегодня ответы?»

В ходе обсуждения на доске появляется схема (кластер):

cos х = а.

уравнения

способы

решения

применения

общая

формула

частные

случаи

П. Работа с таблицей «Верите ли Вы, что...?», («Верно ли, что …?»):

1). Уравнение cos х = а имеет бесконечно много корней;

2). cos х – абсцисса точки единичной окружности;

3). На отрезке [о;π] уравнение cos х = ½ имеет 1 корень;

4). arccos a - угол из промежутка [-π /2; π/2], косинус которого равен а (| а |≤1);

5). arccos (-а) = π - arccos а;

6). Уравнения cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 имеет одну серию корней?

В вопросы специально включены неверные формулировки.

Осмысление

III. «Продвинутая лекция».

Задание: учащиеся, сидящие на I варианте , следят за кластером (схемой), учащиеся, сидящие на II варианте, пишут краткий конспект лекции.

a) cos х - абсцисса точки единичной окружности, полученной поворотом точки Р 0 (1;0) на угол х вокруг начала координат.

Т. е., при а меньшем, чем -1 и большем, чем 1 , уравнение cos x = а не имеет корней . Решим уравнение cos х = 3/2. ( Ответ: корней нет).

б). Решим уравнение cos x = 1/2.

π /3 + 2 π k , k є Z .

-π /3 + 2 π k , k є Z .

Ответ : ± π/3 + 2 π k , k є Z .

Уравнение cos х =1/2 имеет бесконечно много корней, но на отрезке это уравнение имеет 1 корень π /3, который называют arccos 1/2 .

Записывают: arccos 1/2 = π /3.

в) аналогично решим уравнения:

cos x = a , где | а |≤1:

arccos a

- arccos a

Ответ : x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.

Напомним , что arccos (-a) = π - arccos a.

arccos (- а ) arccos (- а )

г). частные случаи:

Ответ:

x = 2π k , k є Z .

2). cos x = - 1

Ответ:

x = π + 2π k , k є Z .

3). cos x = 0

Ответ:

x = π/2 + π k , k є Z .

IV. Работа в парах с кластером и таблицей «Верно ли, что...?». Четыре пары работают с кластером, остальные с таблицей (заполняется графа 2).

На работу дается 2 минуты, еще 5 минут на проверку, обсуждение и оформление на доске. При проверке таблицы (она вычерчена на доске) сопоставляются полученные знания с исходными и выделяются ярким цветом правильные ответы.

Рефлексия

V . Теперь, когда получены формулы корней тригонометрического уравнения cos х = а , учащиеся комментируют и решают на доске уравнения:

1). с os 5x = 1

2). 3cos х /3 = 2

3). cos 7x = 5

Самостоятельная работа учащихся:

1). 2 cos 3 x = -1,

2). 2cos (x + π / 3) = -1,

3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,

4). с os 2 x (2 cos x + 2) = 0.

Уроки 34-35. Тригонометрические уравнения

Цель: рассмотреть решение тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

arctg х.

2. Постройте график функции:

3. Вычислите

Вариант 2

1. Дайте определение и перечислите основные свойства функции у = arcctg х.

2. Постройте график функции:

3. Вычислите

III. Изучение нового материала

Рассмотрим решение некоторых типов тригонометрических уравнений. Для этого необходимо с помощью преобразований данное уравнение свести к одному из простейших уравнений – sin x = a , cos х = a , tg х = a , ctg х = a , решение которых можно записать.

1. Простейшие тригонометрические уравнения

Еще раз напомним решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решения уравнений sin x = а (где | a | ≤ 1) имеют вид:

2. Решения уравнений cos x = а (где |а| ≤ 1) имеют вид:

3. Решения уравнений tg x = а имеют вид:

4. Решения уравнений ctg x = а имеют вид:

При решении уравнений sin x = 0; ±1 и cos x = 0; ±1 (частные случаи) удобнее пользоваться не общими формулами, а использовать числовую окружность, тогда получим:

Пример 1

Для уравнения sin x = 1 покажем предпочтительность использования числовой окружности.

Сначала запишем решения уравнения sin x = 1, применяя общую формулу Для нескольких значений n такие решения приведены в таблице.

Из данных таблицы видно, что при использовании формулы каждое решение повторяется по два раза. Кроме того, выражение более громоздко по сравнению с формулой которая получается при рассмотрении числовой окружности.

Пример 2

Найдем решения уравнения принадлежащие отрезку .

Решим данное уравнение, используя числовую окружность. Получим: Отберем те решения, которые принадлежат отрезку . По условию получим неравенство Решим это неравенство: В этот промежуток попадают три целых значения n : n = 0, 1, 2. Для этих значении n найдем соответствующие решения:

Пример 3

Решим уравнение

Используя общую формулу, получим: Тогда

2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений

Для решения более сложных уравнений используют метод введения новой переменной и метод разложения на множители. Рассмотрим сначала метод введения новой переменной.

Пример 4

Решим уравнение:

а) Введем новую переменную z = cos x корни которого z 1 = 1 и z 2 = 2/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения cos x = 1 и cos x = 2/3. Решения первого уравнения x = 2π n , решения второго уравнения

б) Используя формулу в уравнении перейдем к функции sin x . Получим: или Далее поступаем аналогично пункту а. Введем новую переменную z = sin x и получим квадратное уравнение корни которого z 1 = 2 и z 2 = 1/3. Вернемся к старой неизвестной и получим простейшие уравнения sin х = 2 (решений не имеет) и sin х = 1/3 (его решения ).

Теперь обсудим второй метод - метод разложения на множители. При его применении уравнение f (x ) = 0 записывают в виде , тогда или f 1 (x ) = 0, или f 2 (х) = 0. Таким образом, задача сводится к решению совокупности уравнений

Пример 5

Решим уравнение:

а) Левая часть уравнения уже разложена на множители. Задача сводится к решению совокупности уравнений tg х - 1 = 0 (или tg x = 1) и cos x + 1/2 = 0 (или cos x = -1/2). Решения первого уравнения решения второго уравнения

б) Вынесем cos 3 x за скобки и получим: Теперь необходимо решить совокупность уравнений cos 3 x = 0 и (или ). Решая первое уравнение, найдем: и Решая второе уравнение, получим:

Уточним рассматриваемый метод. Из уравнения следует, что или f 1 (x ) = 0 (при этом выражение f 2 (х) имеет смысл), или f 2 (х) = 0 (при этом выражение f 1 (х) имеет смысл).

Пример 6

Решим уравнение ctg x (cos + 1) = 0.

Из уравнения ctg x = 0 находим: из уравнения cos х + 1 = 0 (или cos х = -1) получим: x = π + 2π n . Но при таких значениях х выражение ctg x не имеет смысла. Поэтому решения данного уравнения х = π/2 + п n .

3. Однородные тригонометрические уравнения

Теперь обсудим часто встречающийся вид уравнений - однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида (где а ≠ 0, b ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Уравнение вида (где а ≠ 0) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Рассмотрим сначала решение однородных тригонометрических уравнений первой степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Предположим, что cos х = 0, и подставим эту величину в данное уравнение. Получим: a sin х = 0. Так как а ≠ 0, то sin x = 0. Очевидно, что равенства cos x = 0 и sin x = 0 одновременно выполняться не могут, так как равенство sin 2 x + cos 2 x = 1 не выполняется.

Так как cos x ≠ 0, то cos x . Получим: или откуда и

Пример 7

Решим уравнение

Разделим все члены уравнения на и получим: Найдем и

Пример 8

Решим уравнение

Учтем четность функции косинуса и формулы приведения. Получим: или Разделим обе части уравнения на cos 3 x . Имеем: 2 tg 3 x = -1, откуда tg 3 x = -1/2,

Рассмотрим теперь решение однородного тригонометрического уравнения второй степени Убедимся, что cos х ≠ 0. Подставим значение cos х = 0 в данное уравнение и получим: a sin 2 х = 0. Так как а ≠ 0, то имеем: sin х = 0. Но равенства cos х = 0 и sin х = 0 одновременно выполняться не могут.

Так как cos x ≠ 0, то разделим все члены уравнения на cos 2 x и получим: или Введем новую переменную z = tg x и придем к квадратному уравнению az 2 + bz + c = 0. Решаем это уравнение. Потом возвращаемся к старой переменной, получаем простейшие тригонометрические уравнения и находим их решения.

Пример 9

Решим уравнение

Разделим все члены уравнения на cos 2 x и получим: tg 2 x – tg x - 2 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z 2 - z - 2 = 0, корни которого z 1 = -1 и z 2 = 2. Вернемся к старой переменной. Имеем простейшие тригонометрические уравнения tg х = -1 (его решения ) и tg х = 2 (его решения ).

Пример 10

Решим уравнение

Данное уравнение не является однородным, так как в правой части стоит число 1, а не число 0. Если учесть равенство sin 2 х + cos 2 х = 1, то уравнение легко свести к однородному. Получим: или Разделим все члены уравнения на cos 2 x . Имеем: tg 2 x + 5 tg x + 4 = 0. Введем новую переменную z = tg x и получим квадратное уравнение z 2 + 5 z + 4 = 0, корни которого z 1 = -1 и z 2 = -4. Вернемся к старой переменной. Получим простейшие тригонометрические уравнения tg x = -1 (его решения ) и tg х = -4 (его решения ).

Пусть в однородном тригонометрическом уравнении коэффициент a = 0. Тогда уравнение имеет вид: В этом случае делить на cos 2 x нельзя, так как cos х может равняться нулю. Поэтому надо использовать метод разложения на множители. Получим Имеем простейшее тригонометрическое уравнение cos x = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первой степени Такие уравнения мы решать уже умеем.

Пример 11

Решим уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители: Произведение двух множителей равно нулю. Поэтому один из множителей равен нулю. Получаем простейшее тригонометрическое уравнение cos х = 0 (его решения ) и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка или (его решения ).

Метод разложения на множители также используется и в случае, когда коэффициент с = 0. Тогда уравнение имеет вид: или Вновь получаем простейшее тригонометрическое уравнение sin х = 0 и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка которые решаются аналогично примеру 11.

Рассмотрение примеров 9-11 позволяет сформулировать алгоритм решения уравнения

1. Если коэффициент а не равен нулю, то все члены уравнения делят на cos 2 x . Вводят новую переменную z = tg х и получают квадратное уравнение. Находят корни этого уравнения и возвращаются к старой неизвестной. Получают простейшие тригонометрические уравнения и решают их.

2. Если коэффициенты а и с равны нулю, то используют метод разложения на множители. При a = 0 выносят за скобки cos х, при с = 0 выносят sin x . Получают простейшее тригонометрическое уравнение и однородное тригонометрическое уравнение первого порядка и решают их.

IV. Контрольные вопросы

1. Решения простейших тригонометрических уравнений.

2. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.

3. Определение однородного тригонометрического уравнения первой и второй степеней.

4. Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени.

5. Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения второй степени.

V. Задание на уроках

§ 18, № 3 (а, в); 5 (а, б); 6 (б); 8 (г); 10 (а, б); 11 (в); 12 (а); 13 (в); 16; 18; 20 (а); 21 (а, б); 23 (а); 27 (а, б); 30 (а); 31; 33 (а); 34 (б); 35 (а).

VI. Задание на дом

§ 18, № 3 (б, г); 5 (в, г); 6 (г); 8 (б); 10 (в, г); 11 (а); 12 (б); 13 (г); 17; 19; 20 (б); 21 (в, г); 23 (б); 27 (в, г); 30 (б); 32; 33 (б); 34 (а); 35 (б).

VII. Подведение итогов уроков

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

У Р О К

- «мозговая атака»

Тема. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Уравнения вида cos x = a .

10 класс

Гимназия №3

учитель

Момот

Людмила

Александровна

г. Бердянск

Ожидаемые результаты: после этого урока дети:

получат представление о простейших тригонометрических уравнениях;

научатся решать уравнения вида: sin x = a

начнут понимать, что данная тема является расширением их знаний из области тригонометрии;

научатся применять известные им математические понятия: корни уравнения, область допустимых значений переменной, упрощение выражений и т.п. при решении тригонометрических уравнений;

Оборудование урока:

краткий ОК урока;

слайд с математическим диктантом;

алгоритм решения тригонометрического уравнения;

слайды для групповой работы.

Ход урока.

Этап ориентации.

Дети, мы продолжаем изучение темы « Тригонометрические уравнения», сегодня мы познакомимся еще с одним видом тригонометрических уравнений, а именно, с уравнениями вида: cosx = a .

Основную задачу нашего урока я вижу в следующем:

продолжить составление алгоритма решения простейших тригонометрических уравнений;

развивать умение приводить любое тригонометрическое уравнение к простейшему;

Я оставила на слайде свободный пункт, не хотите ли Вы его заполнить?..

Именно этим мы и будем с вами заниматься на сегодняшнем уроке.

Изучая эту тему, мы будем продолжать работать по группам, ни у кого нет желания поменять состав группы.

Ну что ж команды укомплектованы, приступаем к работе.

Девизом нашего урока предлагаю взять слова великого педагога А.С.Макаренко:

« Если Вы не можете что-то сделать сами,

не мешайте тому, кто это делает».

Этап установки цели урока.

Работа, которую мы сегодня выполним, позволит вам более широко ориентироваться в «лабиринтах тригонометрических уравнений» и безошибочно применять на практике изученный теоретический материал.

Этап проектирования.

Мне бы очень хотелось, чтобы на сегодняшнем уроке мы с Вами :

Вспомнили и закрепили знания о тригонометрическом уравнении.

Продолжили создание ОК по теме.

Смогли решить очередной блок тригонометрических уравнений.

Продемонстрировали свои знания при преобразовании условий уравнений.

Проявили творческую индивидуальность.

Смогли применить систему знаний при выполнении РСР.

Получили, показали и оценили свои знания и умения.

Теперь, когда Вы знаете, чем мы займемся на уроке, подумайте и скажите:

Хотите ли Вы принять участие в нашем уроке?

Зачем Вам это нужно?

Что Вы ожидаете от сегодняшнего урока?

Какой этап урока Вас пугает или настораживает?

Какой этап вызывает повышенный интерес?

Этап организации выполнения плана деятельности.

1.Использование приема « Мо зговая атака» при проверке домашнего задания.

Ответы на вопросы, возникшие при выполнении домашнего задания.

Выполнение задания: «Математический диктант» по программе «Молния» (кто больше за 6 минут):

1. sin x = 0; 2. sin x = 1 3. sin x = -1

4. sin x = 5. sin x = 6. sin x =

7. sin x = - 8. sin x = - 9. sin x = -

10. sin x = 11. sin x = -
12. sin x = 0,5

Подведение итогов самостоятельной работы.

2. Изучение нового материала.

2.1.Работа в парах с ОК по теме «Простейшие тригонометрические уравнения» с использованием приема « Каждый учит каждого».

2.2.Практическая расшифровка полученных знаний о простейших тригонометрических уравнениях вида: cos x = a :

Решите уравнение:

cos x =

Решите уравнение:

cos x =

cos x = -

cos x = -

cos x =

cos x =

cos x =

cos x =

2.3. Применение полученных знаний в форме игры «Гонка за лидером»:

2cosx – 1 = 0 cos 2x – 1 = 0

/ 2 балла/ cos 2 x - sin 2 x = 0,5 2 sin 2 x = 1 / 4 балла/

6cos 2 x + cosx – 1 = 0 cos 2 x + 3cosx = 0

4cos 2 x –3 =0 cos 2 2x = 1 + sin 2 2x / 6 балл oв/

Контрольно - оценочный этап.

Рефлексия.

1.1. - Я считаю, что сегодня мы с вами достигли своей цели. Осталось лишь выяснить, в какой мере каждый из вас овладел системой знаний по теме « Решение уравнения вида: cos x = a » и готов справиться с домашней работой. Я предлагаю вам уровневую домашнюю работу, которую для вас любезно приготовили ваши товарищи.

- Разноуровневая домашняя работа.

І уровень: Прохождение тестов, приготовленных сильным учеником.

ІІ уровень: Решение уравнений.

1.2. Чтение рефлексивной карты на компьютере учащимися.

Ценение.

Как Вы считаете, мы справились с задачами урока?

Все ли пункты плана выполнены?

Я очень довольна Вашей работой, особенно мне понравилось то, как Вы ловко справились с составлением ОК, меня порадовали Ваши правильные и быстрые ответы в «Молнии», надеюсь, что Вы прекрасно справились со своей работой.

Оценивание.

- Вы уже достаточно взрослые люди и можете объективно оценить свой труд. Поставьте себе оценку в первый квадратик.

Распределите баллы, заработанные на уроке, пропорционально вашему участию в работе группы. И обозначьте их количество во втором квадратике.

Третий квадратик заполню я, когда проверю выполненное Вами домашнее задание и получу огромное удовольствие от правильных решений.

С П А С И Б О З А У Р О К!

ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ НА СЛЕДУЮЩЕМ УРОКЕ!

Урок проводился в компьютерном классе. На данном уроке ученики работали с компью тером индивидуально и в группах.

Тема и цели урока высвечивались на экране, дети могли подойти к центральному компьютеру и внести изменения в план урока.

Решение уравнений с использование программы «Молния» показало их умение быстро выбрать нужный ответ и набрать как можно больше баллов, которые составили их «стартовый капитал» - 1- 6 баллов.

Рассмотрев готовые решения простейших видов уравнений cos x = a , дети объясняя друг другу по готовым записям рассказывали друг другу и в паре составили алгоритм решения, первая пара вывела его на экран. После всеобщего обговаривания утвердили его окончательный вариант.

Вторую половину оценки дети заработали, решив самостоятельную работу на три уровня (по выбору).

Результаты первой и второй самостоятельных работ занесены в компьютер, т.е оценка составилась из результатов двух работ.

Дети перенесли ее на свой оценочный лист.

Использование компьютера на данном уроке внесло в учебный процесс новые разнообразные формы и методы, что вызвало у детей неподдельный интерес и облегчило далеко не самую легкую тему в курсе тригонометрии.