Круг Мора (рис. 8.2 ) вычерчивается в прямоугольной системе координат. Полагается, что σ 1 ≥σ 2

Рис. 8.2. Графическое представление напряженного состояния грунта (круг Мора)

Построение круга Мора производится в следующей последовательности. От начала координат откладываем значения σ 1 и σ 3 . Из точки В проводят окружность радиусомт R . Любая точка E на окружности характеризует напряженное состояние грунта в плоскости, проходящей через рассматриваемую точку. Угол наклона α линии ЕА - это угол наклона рассматриваемой площадки к главной. Центральный угол наклона отрезка EB равен 2α. Нормальные напряжения по этой площадке а представляются по горизонтальной оси отрезком ОЕ", касательные τ - перпендикулярным отрезком ЕЕ" .

Значения σ и τ могут быть определены через σ 1 и σ 3 по формулам (8.1) и (8.2).

Максимальные и минимальные касательные напряжения соответствуют sin 2α = 1 и sin 2α = -1, т.е. углам 2α=π/2 или 3π/2 (α=45° или 135°).

Полное результирующее напряжение на рассматриваемой площадке

Угол отклонения σ n от нормали к площадке

(8.4)

Значение угла θ при изменении угла α от 0 до 90° сначала возрастает от нуля до некоторого θ max , а затем убывает до нуля.

Угол θ максимален, когда линия ОE станет касательной к кругу напряжений. Из треугольника ОBЕ :

(8.5)

Максимальное отклонение полного (результирующего) напряжения на угол θmax нормали к площадке имеет место при:

Следовательно, отклонения площадки скольжения от направления наибольшего главного напряжения σ 1

(8.7)

Таким образом, в предельном состоянии в каждой точке грунта имеются две сопряженные площадки скольжения, наклоненные под углом 45°- φ/2 к линии действия максимального и 45° + φ/2 - минимального главного напряжения (рис. 8.3 ).

Рис. 8.3. Ориентация площадок скольжения относительно главных напряжений: 1, 2 - площадки скольжения

Для сыпучих грунтов во всех случаях θ max не может быть больше угла внутреннего трения φ. А разрушение сыпучих грунтов наступает, когда угол отклонения полного(результирующего) напряжения равен углу внутреннего трения:

θ max = φ (8.8)

Выражение (8.8) является условием прочности грунта. Тогда уравнение предельного равновесия можно записать в следующем виде:

(8.9)

Выражение (8.9) известно в механике грунтов как условие прочности (предельного равновесия) для песчаных (сыпучих) грунтов. После несложных тригонометрических преобразований это выражение можно записать в следующем виде:

(8.10)

(8.11)

Это выражение часто используют в теории давления грунтов на ограждения (глава 10). Для связных грунтов также можно записать условие предельного равновесия, предварительно построив круги Мора (рис. 8.4 ) по результатам испытания в стабилометре (см. рис. 5.7).

Рис. 8.4. Круги Мора, построенные по результатам испытания образцов грунта на сжатие в стабилометре

Радиус круга

ВД = (σ 1 - σ 3)/2 (8.12)

а отрезок О"Д можно найти из выражения

Отрезок О"О , отсекаемый наклонной линией на оси абсцисс (см. рис. 8.4), называют давлением связности, которое можно представить в виде

(8.14)

Давление связности (8.14) можно условно считать начальным давлением связного грунта, которое необходимо преодолеть при испытании на сдвиг. Зная ВД (8.12) и О"Д (8.13), а также используя (8.14), найдем

(8.15)

Выражение (8.15), связывающее главные напряжения в момент разрушения образца с углом внутреннего трения, принято называть уравнением предельного равновесия для связных грунтов.

Уравнение (8.15) в некоторых случаях удобно использовать не в главных напряжениях, а в компонентах, записанных относительно координатных осей. Из сопротивления материалов известно, что:

(8.16)

Тогда, рассматривая совместно уравнения (8.15) и (8.16), можно записать уравнение предельного равновесия в следующем виде:

(8.17)

Аналогичным образом можно выразить и уравнение (8.9).

Круг Мора - это круговая диаграмма, дающая наглядное представление о напряжениях в различных сечениях, проходящих через данную точку. Названа в честь Отто Кристиана Мора . Является двумерной графической интерпретацией тензора напряжений .

Первым человеком, создавшим графическое представление напряжений для продольных и поперечных напряжений изгибаемой горизонтальной балки был Карл Кульман . Вклад Мора заключается в использовании этого подхода для плоского и объёмного напряжённых состояний и определение критерия прочности , основанного на круговой диаграмме напряжений .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Внутренние усилия возникают между частицами сплошного деформируемого тела в качестве реакции на прикладываемые внешние силы: поверхностные и объёмные . Эта реакция согласуется со вторым законом Ньютона , приложенным к частицам материальных объектов. Величина интенсивности этих внутренних сил называется механическим напряжением . Т.к. тело считается сплошным, эти внутренние силы распределяются непрерывно по всему объёму рассматриваемого объекта.

  cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , sin 2 ⁡ θ = 1 − cos ⁡ 2 θ 2 , sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}},\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}\qquad {\text{,}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }

  Тогда можно получить

  σ n = 1 2 (σ x + σ y) + 1 2 (σ x − σ y) cos ⁡ 2 θ + τ x y sin ⁡ 2 θ {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta }

  Касательное напряжение также действует на площадке площадью d A {\displaystyle dA} . Из равенства проекций сил на ось τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} (ось y ′ {\displaystyle y"} ) получаем:

  ∑ F y ′ = τ n d A + σ x d A cos ⁡ θ sin ⁡ θ − σ y d A sin ⁡ θ cos ⁡ θ − τ x y d A cos 2 ⁡ θ + τ x y d A sin 2 ⁡ θ = 0 τ n = − (σ x − σ y) sin ⁡ θ cos ⁡ θ + τ x y (cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ) {\displaystyle \ {\begin{aligned}\sum F_{y"}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _{\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aligned}}}

  Известно, что

  cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ , sin ⁡ 2 θ = 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta \qquad {\text{,}}\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }

  Тогда можно получить

  τ n = − 1 2 (σ x − σ y) sin ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta }

  Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.

  Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)

  На площадках, параллельных s 1 , (рис. 4.12, а), напряжения зависят только отs 2 иs 3 и не зависят отs 1 , т. к.
  , тогда согласно (4.18)

  

  Круг Мора, соответствующий этому случаю, представлен на рис. 4.13 кругом «а».

  Напряжения в семействе площадок, параллельных s 2 , определяются по кругу «б», а в семействе площадок, параллельныхs 3 – с помощью круга «в».

  В теории упругости доказывается, что площадкам общего положения соответствуют точки, лежащие в заштрихованной области (рис. 4.13).

  Из представленного рисунка следует, что наименьшее и наибольшее нормальные напряжения равны наименьшему и наибольшему главным напряжениям
  ,
  .

  Наибольшие касательные напряжения равны радиусу наибольшего круга

  

  и действуют по площадке, равнонаклонённой к площадкам максимального и минимального из главных напряжений (
  ).

  Деформации при объемном напряженном состоянии .

  Обобщенный закон Гука

  Рассматривая вопросы прочности при объемном и плоском напряженных состояниях, необходимо в соответствии с основными гипотезами считать, что материал изотропный, следует закону Гука, а деформации малы.

  Изучая центральное растяжение, сжатие, было установлено, что относительные продольная и поперечная деформации определяются выражениями

  ,
  (4.12)

  Эти равенства выражают закон Гука при простом растяжении или сжатии, т.е. при линейном напряженном состоянии (рис. 4.14).

  Рассмотрим зависимость между напряжениями и деформациями в случае объемного напряженного состояния.

  Применяя принцип суперпозиции, объемное напряженное состояние изобразим как сумму трех линейных напряженных состояний (рис. 4.15). В этом случае деформацию по направлению первого главного напряженияs 1 можно записать
  ,где , , - относительные удлинения в

  направлении s 1 , вызванные соответственно действием только

  напряжениями s 1 ,s 2 ,s 3 .

  Поскольку является для напряженияs 1 продольной деформацией, а , - поперечными деформациями, то из формул (4.12) следует:

  ,
  ,
  . (4.13)

  Складывая эти величины, получим .

  Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате

  

  (4.14)

  .

  Эти формулы носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела, т. е. определяют зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния. Из этих формул легко получить закон Гука для плоского напряженного состояния. Например,
  :

  

  

  

  Выражения (4.14) справедливы не только для главных деформаций, но и для относительных деформаций по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям.

  При выводе аналитического выражения обобщенного закона Гука в этом случае будем

  исходить из условия, что угловые деформации не зависят от нормальных напряжения, а ли-нейные деформации не зависят от касательных напряжений. В этом случае относительное удлинение по направлению оси х будет обусловлено напряжением σ х и равно. Напряжениям
  в этом направлении будут соответствовать удлинения
  и
  .По аналогии получим такие же выражения дляи.

  Таким образом,

  

  (4.15)

  .

  Угловые деформации определяются соответствующими касательными напряжениями

  
  
  (4.16)

  Совокупность деформаций, возникающих по различн ым направлениям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, называетсядеформированным состоянием в точке.

  Наряду с линейной и угловой деформацией в сопротивлении материалов приходится рассматривать иногда и объёмную деформацию, т.е., относительное изменение объема в точке. Линейные размеры ребер элементарного параллелепипеда
  в результате деформации меняются и становятся равными. Абсолютное приращение объёма определится разностью

  
  -
  .

  Раскрывая скобки и пренебрегая произведениями линейных деформаций, как величинами второго порядка малости, получим
  
  .

  Относительное изменение объёма обозначается буквой е и определится из отношения

  е
  
  .

  Заменив деформации их выражениями по закону Гука, получим

  e
  (4.17)

  Это соотношение на ряду с формулами (4.14)-(4.16) относится к обобщенному закону Гука.

  4.8 Потенциальная энергия деформации

  в общем случае напряженного состояния

  Потенциальная энергия, накопленная в элементарном объёме, определяется суммой работ сил, распределённых по поверхности этого объёма (рис.4.16). Нормальная сила
  на грани перпендикулярной осих
  , равную
  
  , где- относительная линейная деформация вдоль осих , вызванная всеми действующими силами.

  Аналогичные работы совершат и остальные нормальные силы, действующие по граням перпендикулярным осям у и х :
  ,
  .

  Касательная сила dxdzна площадке перпендикулярной осиy совершит работу на перемещении
  , равную
  . Аналогичные выражения работ дают и касатель-

  

  альной энергией и будет равна

  Используя выражения закона Гука для деформаций (4.15), (4.16), окончательно полу-чим (4.18)

  Для главных напряжений . (4.19)

  КРУГИ МОРА

  Круги Мора-круговые диаграммы, дающие наглядное представление о напряжениях в разных сечениях, проходящих через данную точку. Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Откладываем от оси  из центра С луч под углом 2 (>0, то против час.стр.), находим точку D,

  координаты которой:   ,  . Можно графически решать как прямую, так и обратную задачи.

  Объемное напряженное состояние

  Напряжения в любой площадке при известных главных напряжениях  1 ,  2 ,  3:

  где  1 ,  2 ,  3 - углы между нормалью к рассматриваемой площадке и направлениями главных напряжений.

  Наибольшее касательное напряжение:
  .

  Оно действует по площадке параллельной главному напряжению  2 и наклоненной под углом 45 о к главным напряжениям  1 и  3 .

  К
  руг Мора для объемного напряженного состояния.

  Точки, являющиеся вершинами кругов соответствуют диагональным площадкам, наклоненным под 45 о к главным напряжениям:
  

  ,
  (иногда называют главными касательными напряжениями).

  Плоское напряженное состояние - частный случай объемного и тоже может быть представлено тремя кругами Мора, при этом одно из главных напряжений должно быть равно 0. Для касательных напряжений также, как и при плоском напряженном состоянии, действует закон парности : составляющие касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны по величине и обратны по направлению.

  Напряжения по октаэдрической площадке .

  Октаэдрическая площадка (АВС) – площадка, равнонаклоненная ко всем главным направлениям.

  ;

  Октаэдрическое нормальное напряжение равно среднему из трех главных напряжений.

  или
  , Октаэдрическое касательное напряжение пропорционально геометрической сумме главных касательных напряжений. Интенсивность напряжений :

   x + y + z = 1 + 2 + 3 - сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам есть постоянная величина, равная сумме главных напряжений (первый инвариант).

  Деформации при объемном напряженном состоянии.

  Обобщенный закон Гука (закон Гука при объемном напряжении):

  
  1 , 2 , 3 - относительные удлинения в главных направлениях (главные удлинения ). Если какие-либо из напряжений  i будут сжимающими, то их необходимо подставлять в формулы со знаком минус.

  Относительная объемная деформация :

  
  

  Изменение объема не зависит от соотношения между главными напряжениями, а зависит от суммы главных напряжений. Т.е. элементарный кубик получит такое же изменение объема, если к его граням будут приложены одинаковые средние напряжения:
  , тогда
  , где К=
  - модуль объемной деформации . При деформации тела, материал которого имеет коэффициент Пуассона = 0,5 (например, резина) объем тела не меняется.

  Потенциальная энергия деформации

  При простом растяжении (сжатии) потенциальная энергия U=
  .

  Удельная потенциальная энергия - количество потенциальной энергии, накапливаемое в единице объема: u =
  ;
  . В общем случае объемного напряженного состояния, когда действуют три главных напряжения:

  или

  Полная энергия деформации, накапливаемая в единице объема, может рассматриваться как состоящая из двух частей: 1) энергии u o , накапливаемой за счет изменения объема (т.е. одинакового изменения всех размеров кубика без изменения кубической формы) и 2) энергии u ф, связанной с изменением формы кубика (т.е. энергии, расходуемой на превращение кубика в параллелепипед). u = u о + u ф.

  ;

  - тензор напряжений (матрица третьего порядка).

  При переходе к главным напряжениям тензор напряжений получает вид:

  

  J 1 =  x +  y +  z ;

  J 2 =  x  y + y  z +  y  z -  2 xy -  2 zx -  2 yz ;

  J 3 =  x  y  z -  x  2 yz -  y  2 zx -  z  2 xy + 2 xy  zx  yz .

  . При повороте системы координат коэффициенты тензора меняются, сам тензор остается постоянным. Три инварианта напряженного состояния:

  Аналогичные зависимости возникают при рассмотрении деформированного состояния в точке. Сопоставление зависимостей напряженного и деформированного плоского состояния (аналогия):

  
  

  
  

    - относительная деформация,   - угол сдвига.

  Та же аналогия сохраняется и для объемного состояния. Поэтому имеем инварианты деформированного состояния:

  J 1 =  x +  y +  z ;

  J 2 =  x  y + y  z +  z  x -  2 xy -  2 yz -  2 zx ;

  - тензор деформаций .

   x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx - компоненты деформированного состояния.

  Для осей, совпадающих с направлениями главных деформаций  1 ,  2 ,  3 , тензор деформаций принимает вид:
  .

  Прямая задача Мора – это задача определения напряжений на произвольной площадке по известным главным напряжениям.

  Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях объемного напряженного состояния, причем грани этого объема являются главными площадками. Секущей площадкой, параллельной главному напряжению σ 2 , выделим из этого объема треугольную призму:

  Для определения напряжений на произвольной секущей площадке, рассмотрим переднюю грань призмы

  

  Запишем уравнения равновесия для системы сил, действующей на грани призмы.

  Для оси, касательной к наклонной площадке
  :

  Сокращая общие множители и умножая все слагаемые на
  , получим

  ,

  . (2.2)

  Для оси, нормальной к наклонной площадке
  :

  Проведем следующие преобразования:

  

  и получим:

  . (2.3)

  Возведем в квадрат каждую часть полученных выражений (2.2) и (2.3):

  ,

  .

  Суммируя попарно левые и правые части, получим:

  .

  Это уравнение в координатах    является уравнением окружности с центром в точке
  ,
  и радиусом
  :

  

  Полученная окружность называется кругом напряжений иликругом Мора . Круг Мора пересекает ось абсцисс в точках с координатами 1 и 3 .

  Определим координаты точки D  :

  , (2.5)

  что совпадает с полученными ранее формулами (2.2) и (2.3).

  Таким образом, каждой площадке, наклоненной под углом  к главным площадкам, на круге Мора соответствует определенная точка. Радиус этой точки составляет с осью абсцисс угол 2 , а ее координаты определяют напряжения на площадке  и  .

  Задача.

  В стержне с площадью поперечного сечения A = 5х10 4 м 2 , растягиваемом силойF = 50 кН, определить нормальное и касательное напряжения, возникающие на площадке, наклоненной под углом
  к поперечному сечению стержня:

  

  В точках поперечного сечения возникают только нормальные напряжения, то есть площадка элементарного объема в окрестностях точки, совпадающая с этим сечением, является главной:

  

  ,

  остальные главные напряжения отсутствуют, т.е. это одноосное напряженное состояние.

  Найдем напряжения на наклонной площадке.

  

  Вектор полного напряжения p , действующий на этой площадке, можно разложить на две составляющие: нормальную  и касательную  , для определения величины которых воспользуемся кругом Мора.

  Наносим в координатах    точки, соответствующие главным напряжениям
  и
  , и на этих точках, как на диаметре, строим круг Мора:

  

  Откладывая от оси абсцисс против часовой стрелки двойной угол  , получаем на круге точку, отображающую состояние на наклонной площадке. Координаты этой точки являются искомыми напряжениями и вычисляются по формулам (2.4) и (2.5):

  ,
  .

  Обратная задача Мора

  Обратная задача Мора состоит в определении главных напряжений по известным напряжениям на произвольной площадке. Рассмотрим её на конкретном примере.

  Задача.

  Определить главные напряжения в опасной точке стержня, подвергающегося совместному действию изгиба и кручения:

  

  Построив эпюры внутренних силовых факторов, заключаем, что опасным сечением стержня является сечение заделки, в котором действует наибольший по величине изгибающий момент M x .

  Для нахождения опасной точки в опасном сечении рассмотрим распределение нормальных и касательных напряжений по опасному сечению:

  

  В данном случае имеется две равноопасные точки – B иC , в которых действуют максимальные нормальные и касательные напряжения, одинаковые по величине, но разные по направлению. Рассмотрим напряженное состояние в точкеВ , выделив в её окрестности элементарный объем и расставив вектора напряженийина его гранях.

  

  Величины напряжений иможно определить по формулам:

  ,

  .

  Рассмотрим выделенный куб со стороны грани, свободной от напряжений (сверху):

  Обозначим две взаимно перпендикулярные площадки  и . На площадке действуют нормальное
  и касательное напряжение
  . На площадке действуют только касательное напряжение
  (согласно закону парности касательных напряжений).

  Порядок построения круга Мора :

  
  

  

  Наносим положение главных площадок и направление главных напряжений на рассматриваемую площадку:

  

  Радиус круга Мора

  ,

  тогда главные напряжения

  ,

  .

  Читайте также по теме:

  1. Борис Савинков: биография, личная жизнь, семья, деятельность и фото
  2. Что такое малороссия и кто такие малороссы Кто такие малороссы
  3. Конспект открытого занятия на тему "My house"
  4. Чем поэма интересна сейчас руслан и людмила